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Cuantización geométrica del monopolo magnético

José Leonardo Pérez Tarache (2014)

Instituto de Física y Matemáticas. Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Unidad Morelia del Instituto de Matemáticas de la UNAM. Programa Conjunto de Maestría en Matemáticas

Given a symplectic manifold M, geometric quantization assigns to real functions f 2 C1 (M) self-jointing operators bf on a Hilbert space such that the Poisson bracket defined by the symplectic form becomes the switch of these operators. We will present in this work two steps of geometric quantization: pre-quantization and polarization. In order for this operator to comply with Dirac quantization conditions, it must satisfy the integrality condition, in order to at least guarantee the existence of a complex Hermitian line with connection. Now to quantize the magnetic monopole, we are based on the symplectic variety (S2; B), where B is the magnetic field in R3 ?? f0g considered as a 2-symplectic form, which does not depend on the radius, then we can analyze it in S2 Where this field is a form of volume in this variety, and is sought in such a way that it fulfills the condition of integrality, this guarantees that we fulfill the following axioms of the geometric quantization: the existence of a complex line beam, a connection on This beam and a 1-way connection are conveniently found by taking suitable openings in the sphere.

Dada una variedad simpléctica M, la Cuantización geométrica asigna a funciones reales f 2 C1 (M) operadores autoadjuntos bf sobre un espacio de Hilbert tal que el corchete de Poisson definido por la forma simpléctica se convierte en el conmutador de estos operadores. Presentaremos en este trabajo dos pasos de la Cuantización geométrica: la precuantización y la polarización. Para que éste operador cumpla con las condiciones de Cuantización de Dirac, debe satisfacer la condición de integralidad, para por lo menos garantizar la existencia de una haz de línea compleja Hermitiano con conexión. Ya para cuantizar el monopolo magnético nos basamos sobre la variedad simpléctica (S2; B), donde B es el campo magnético en R3 ?? f0g considerado como una 2-forma simpléctica, el cual, no depende del radio, entonces lo podemos analizar en S2 donde este campo es una forma de volumen en dicha variedad, y se busca de tal forma que cumpla la condición de integralidad, esto garantiza que cumplimos con los siguientes axiomas de la cuantización geométrica: la existencia de un haz de línea compleja, una conexión sobre este haz y una 1-forma de conexión que son hallados convenientemente tomando unos abiertos adecuados en la esfera.

Master thesis

CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA TIERRA IFM-M-2014-1316 Variedades Monopolo Magnetismo Polarización

Constricciones perturbativas al vértice quark-gluón

Luis Albino Fernández Rangel (2014)

Instituto de Física y Matemáticas. Maestría en Ciencias en el Área de Física

In this thesis we calculate the quark-gluon interaction vertex in perturbation theory to one loop in the asymptotic limit k2 >> p2 >> m2 of external quark momenta k and p and the bare quark mass m. This vertex consists of two Feynman diagrams of Abelian and non-Abelian nature. We calculate both these diagrams. Invoking the Slavnov- Taylor identity and subtracting out the longitudinal Ball-Chiu type vertex, we compute the transverse vertex which can help to construct a physically meaningful and reliable ansatz for its non-perturbative counterpart. Construction of this non perturbative ansatz has measurable effects in hadron physics, which are being observed in different laboratories worldwide.

En éste trabajo de tesis calculamos el vértice de interacción quark-gluón, en teoría de perturbaciones a un lazo, en el límite asintótico k2 >> p2 >> m2 de momentos externos k y p del quark y masa desnuda m del quark. Este vértice consiste de dos diagramas de Feynman de naturaleza Abeliana y no Abeliana. Ambos diagramas son calculados. Invocando las identidades de Ward-Slavnov-Taylor y restando el vértice longitudinal tipo Ball-Chiu, calculamos la parte transversa del vértice, la cual nos da pistas de cómo construir un ansatz confiable y físicamente coherente para su contraparte no perturbativa. La construcción de este ansatz no perturbativo tiene efectos medibles en física hadrónica, los cuales son observados en varios laboratorios.

Master thesis

CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA TIERRA IFM-M-2014-0248 Cromodinámica Cuántica Schwinger-Dyson

Reología de comprensión oscilatoria en membranas DPPC/POPC

José Luis Méndez Montes de Oca (2014)

Instituto de Física y Matemáticas. Maestría en Ciencias en el Área de Física

In this thesis we studied the surface properties of lipid mixture DPPC/POPC, motivated by the biological interest that this mixtures represent, given its importance as a main component in lung surfactants. In this work, we utilized the experimental technique of Langmuir monolayers as a model of phospholipid membranes at the air/water interface. We performed oscillatory compression cycles to obtain the dilatational rheology from the model membranes, and also to obtain informal- tion on the mechanical response of membranes under dilatational strain. The most important result, was the unexpected negative elastic modulus. These results were interpreted assuming a cooperative interaction between DPPC and POPC molecules that favors the formation of domains, and due to the irreversibility of compression cycles applied to the model membrane.

En el presente trabajo de tesis, se estudiaron las propiedades superficiales de la mezcla de lípidos DPPC/POPC siguiendo el interés biológico que esta mezcla presenta, dada su importancia como el principal componente del surfactante pulmonar. En este trabajo, se utiliza como modelo de membrana fosfolípida en la interfase aire/agua la técnica experimental de la balanza de Langmuir para investigar las propiedades superficiales de la membrana. Realizamos ciclos de compresión oscilatoria para obtener la reología dilatacional de las membranas modelo, y también para obtener información sobre la respuesta mecánica de las membranas después de una deformación dilatacional. La característica más importante obtenida en estas mediciones, fue que los módulos de elasticidad tomaran valores negativos. Estos resultados fueron interpretados asumiendo una interacción cooperativa entre las moléculas de DPPC y POPC que propicia la formación de dominios.

Master thesis

CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA TIERRA IFM-M-2014-0200 Comprensión Elasticidad Langmuir

El operador de Dirac bajo transformaciones conformes de métrica

Alfonso Ortiz Ávila (2014)

Instituto de Física y Matemáticas. Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Unidad Morelia del Instituto de Matemáticas de la UNAM. Programa Conjunto de Maestría en Matemáticas

Given a spin manifold with Riemannian metric g, the Dirac operator in the conformal metric e2hg is computed in terms of the one in g using local coordinates. The relation between the Dirac operators of the conformably related manifolds is used to obtain directly the Dirac operators for the manifolds of constant curvature Sn and Hn by means of the already known operator in Rn.

Dada una variedad de espín con métrica de Riemann g, el operador de Dirac en la métrica conforme e2hg es calculado en términos del que se tiene en la métrica inicial g en coordenadas locales. La relación obtenida entre los operadores de Dirac de las variedades conformemente relacionadas es utilizada para obtener de manera directa los operadores de Dirac en las variedades de curvatura constante Sn y en Hn a partir del ya conocido para Rn.

Master thesis

CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA TIERRA IFM-M-2014-0609 Espín Métricas Curvatura

El anillo de Burnside de un sistema de fusión saturado

Elias Javier García Claro (2014)

Instituto de Física y Matemáticas. Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Unidad Morelia del Instituto de Matemáticas de la UNAM. Programa Conjunto de Maestría en Matemáticas

Given a saturated fusion system F on a finite p-group S we define a ring A(F ) modeled on the Burnside ring A(G) of a finite group. We show that these rings have several properties in common. When F is the fusion system of a finite group G we describe the relationship between these rings.

Dado un sistema de fusión saturado F sobre un p-grupo finito S , definimos el anillo A(F ) que modela al anillo de Burnside A(G) de un grupo finito. Se muestra que estos anillos tienen muchas propiedades comunes. Cuando F es el sistema de fusión de un grupo finito G describimos la relación entre estos anillos.

Master thesis

CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA TIERRA IFM-M-2014-0694 Grupo finito Órbitas Burnside

Álgebras de Weyl y problema de Bernstein

Víctor Rufino Becerril Somera (2014)

Instituto de Física y Matemáticas. Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Unidad Morelia del Instituto de Matemáticas de la UNAM. Programa Conjunto de Maestría en Matemáticas

Looking for generalize the results of [11] and [12] in this thesis began the study of more general algebras that G-algebras and homogeneous G-algebras, this leads us to study the Gelfand-Kirillov dimension, we opted this dimension present in most of Krause-Lenagan in [3] taking into account the possibility of applying it later to study not noetherianas algebras. We also study the basic properties of almost commutative algebras, ie filtered algebras whose associated graded ring is commutative, these algebras are characterized as the quotient of the enveloping algebra of a Lie algebra of finite dimension. We also address Weyl algebras, reading the text of Coutinho [13], and study key concepts such as the category of holonomic modules. We try to illustrate the power and beauty of this theory with an application to the analysis, we have chosen the problem proposed by Gelfand in the International Congress of Mathematics which took place in Amsterdam in 1963 The above problem belongs to the functional analysis and used in particular the theory of distributions, so we included this thesis with basic results of this part of the analysis. The work culminates with the demonstration given by Bernstein in [6].

Buscando generalizar los resultados de [11] y [12] en esta tesis iniciamos el estudio de álgebras más generales que las G-álgebras y las G-álgebras homogéneas, esto nos lleva a estudiar la dimensión de Gelfand-Kirillov, optamos por presentar esta dimensión en la generalidad de Krause-Lenagan en [3] teniendo en cuenta la posibilidad de aplicarla más tarde al estudio de álgebras no noetherianas. Estudiamos también las propiedades básicas de las álgebras casi conmutativas, es decir álgebras filtradas cuyo anillo graduado asociado es conmutativo, estas álgebras se caracterizan por ser cocientes del álgebra envolvente de un álgebra de Lie de dimensión finita. También abordamos las álgebras de Weyl, con la lectura del texto de Coutinho [13], y estudiamos nociones fundamentales como la categoría de módulos holonómicos. Intentamos ilustrar la fuerza y la belleza de esta teoría con una aplicación al análisis, para ello hemos elegido el problema planteado por Gelfand en el Congreso Internacional de Matemáticas que tuvo lugar en Amsterdam en 1963. El problema mencionado pertenece al análisis funcional y utiliza en particular la teoría de distribuciones, así que incluimos esta tesis con resultados básicos de esta parte del análisis. El trabajo culmina con la demostración dada por Bernstein en [6].

Master thesis

CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA TIERRA IFM-M-2014-1431 Gelfand-Kirillov Distribuciones Bernstein

Ideales basados en gráficas y sus invariantes cardinales

José de Jesús Pelayo Gómez (2014)

Instituto de Física y Matemáticas. Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Unidad Morelia del Instituto de Matemáticas de la UNAM. Programa Conjunto de Maestría en Matemáticas

The aim of this work is studding some ideals based on graphs, specially the ideals Gaff, Gc and the random graph ideal. Also we want to say something about its cardinal invariants. It’s spected that the reader has knowledge of descriptive set theory, graph theory (although this is not necessary) and cardinal invariants like b, r y s. You can find about it in [7] and [8].

La idea de este trabajo es estudiar algunos ideales basados en gráficas, en particular lo ideales Gfc, Gc y el ideal de la gráfica aleatoria, además decir algo acerca de sus invariantes cardinales. Se espera que el lector tenga conocimientos básicos de teoría descriptiva de conjuntos, una referencia sobre el tema la puede encontrar en [7]; tenga algunos conocimientos acerca de teoría de graficas (aunque esto no es tan necesario, como referencia puede consultar [8]) y conozca algunos invariantes cardinales del continuo, tales como b, r y s.

Master thesis

CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA TIERRA IFM-M-2014-0096 Tesina Random Invariante

Bases normales óptimas sobre campos finitos

Vither Franco Rojas Tarquino (2014)

Instituto de Física y Matemáticas. Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Unidad Morelia del Instituto de Matemáticas de la UNAM. Programa Conjunto de Maestría en Matemáticas

Consider the finite field Fqn. This field can be viewed as a n-dimensional vector space over Fq, thus, it has a basis formed by n elements of Fqn. A basis of the form {α, αq , αq2 , ..., αqn−1 } with α ∈ Fqn is called normal basis of Fqn over Fq . When an element is identified by its coordinate vector in this basis, its q-th power has the same vector, but shifted to the right one position. Multiplication with respect to a normal basis can be defined in terms of a certain bilinear form represented by a matrix. We define the complexity of that normal basis to be the number of nonzero entries in this matrix. An argument due to Mullin et al. shows that this matrix has at least 2n − 1 non zero entries. If it contains exactly 2n − 1 non zero entries, then the normal basis is said to be optimal. In this dissertation is explained and described the stage of normal bases in finite fields. Normal Bases Theorem is showed and the normal elements of Fqn over Fq were characterized. The argument due to Mullin et al. is exposed. On the one hand, the criteria for constructing optimal normal bases is analyzed, on the other hand the classification of all optimal normal bases is explained. The proofs of results were detailed, the facts that are assumed true in original sources were isolated in lemas, which were shown for get clear proofs. An equivalent and alternative formulation is proposed of Theorem due S. Gao, which allows to construct optimal normal bases and low complexity normal bases. Finally, explanatory observations about the objects into the statement of this Theorem are made in the form of propositions.

Consideremos el campo finito Fqn . Dicho campo puede verse como un espacio vectorial de dimensión n sobre Fq, as ́ı, tiene una base formada por n elementos de Fqn. Una base de la forma {α,αq,αq2,...,αqn−1} con α ∈ Fqn se llama base normal de Fqn sobre Fq. Cuando un elemento se identifica con su vector de coordenadas en esta base, su potencia q-ésima tiene el mismo vector pero rotado una posición a la derecha. La multiplicación con respecto a una base normal puede ser definida en términos de una cierta forma bilineal representada por una matriz, se define entonces la complejidad de esa base normal como el número de entradas distintas de cero en dicha matriz. Un argumento debido a Mullin et al. muestra que dicha matriz tiene al menos 2n − 1 entradas distintas de cero. Cuando tiene exactamente 2n − 1 entradas distintas de cero, la base normal se dice que es ́optima. En esta tesina se explica y describe el escenario de las bases normales en campos finitos. Se prueba el Teorema de la Base Normal y se caracteriza a los elementos normales de Fqn sobre Fq. Se expone el argumento de Mullin et al., se explican por un lado los criterios para construir bases normales ́optimas y por otro lado su clasificación.
Las pruebas de los resultados fueron detalladas, los hechos que en las fuentes originales se dan por sentados se aislaron en lemas, los cuales fueron demostrados para conseguir pruebas claras. Se propone una formulación equivalente y alternativa al Teorema de S. Gao que permite construir bases normales ́optimas y de baja complejidad, además se hacen observaciones aclaratorias en la forma de proposiciones, relativas a los objetos que participan en el enunciado de dicho Teorema.

Master thesis

CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA TIERRA IFM-M-2014-0197 Base Vector Matriz

Implementación numérica de la magnetohidrodinámica ideal relativista

Alejandro Cruz Osorio (2014)

Instituto de Física y Matemáticas

Doctorado en Ciencias en el Área de Física

In this thesis the development of a new numerical code constructed with the aim of studying involved scenarios where this ideal relativistic magnetohydrodynamics (RMHD ideal), built in three cartesian dimensions is presented. CAFE is an independent code focused on the study of high energy phenomena associated with the propagation and interaction of relativistic jets in the presence of magnetic fields. The ideal RMHD equations are solved numerically, these equations describe the evolution of a fluid by relativistic Euler equations and the evolution of magnetic fields using Maxwell’s equations, both in Minkowski spacetime. Such that the physical system is composed of a fluid, magnetic fields and a fixed space-time coupled. Therefore the applicability of the code is focused on the study of extragalactic jets in far regions where they were issued and the effects of gravitational field are negligible. Similarly it is considered that space-time is not modified by the presence of the fluid and the magnetic fields.

En este trabajo se presenta el desarrollo numérico de un nuevo código construido con el objetivo de estudiar escenarios en donde esté involucrada la magnetohidrodinámica ideal relativista (RMHD ideal), el código está construido en tres dimensiones cartesianas. 1CAFE es un código independiente a los existentes actualmente, enfocado al estudio de fenómenos de altas energías relacionados con la propagación e interacción de jets relativistas en presencia de campos magnéticos. Las ecuaciones de la RMHD ideal se resuelven numéricamente, dichas ecuaciones describen la evolución de un fluido mediante las ecuaciones de Euler relativistas y la evolución de los campos magnéticos mediante las ecuaciones de Maxwell, ambas en un espacio-tiempo de Minkowski. De tal manera que el sistema físico está compuesto por un fluido, campos magnéticos y un espacio-tiempo fijo, acoplados. Es por ello que la aplicabilidad del código se enfoca en el estudio de jets extragalácticos en regiones lejanas de donde fueron emitidos y los efectos del campo gravitacionales son despreciables. De igual forma se considera que el espacio-tiempo no es modificado por presencia del fluido y los campos magnéticos.

Doctoral thesis

CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA TIERRA IFM-D-2014-1096 Relatividad MHD Godunov

Categoría de biconjuntos con estructura aditiva y funtores en biconjuntos

Jesús Tadeo Ibarra Tacho (2014)

Instituto de Física y Matemáticas. Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Unidad Morelia del Instituto de Matemáticas de la UNAM. Programa Conjunto de Doctorado en Matemáticas

We define for a commutative ring R, an additive category CR such that contains a full subcategory DR and for every finite group G, subcategories SG,R, with DR equivalent to the biset category, SG,R equivalent to the SpanR(G−set) and CR equivalent to AddD. We prove that FunR(C,R−mod) is equivalent to the biset functors category while FunR(SG,R−mod) is equivalent to the Mackey functors category over G. For X a G-set we give an explicit construction of the representation functor valuated on GX as the Grothendieck group of Vector bundles over X.

Definimos para un anillo conmutativo R, una categoría aditiva CR tal que contiene una subcategoría plena DR y para cada grupo finito G, construimos subcategorías SG,R tales que DR es equivalente a la categoría de biconjuntos, SG,R es equivalente a SpanR(G − set) y CR es equivalente a AddD. Demos- tramos que FunR (C, R − mod) es equivalente a la categoría de biconjuntos mientras que FunR (SG, R−mod) es equivalente a la categoríıa de funtores de Mackey sobre G. Para X un G-conjunto, damos una construcción ́n del funtor de representaciones valuado en GX como el grupo de Grothendieck de los haces vectoriales sobre X.

Doctoral thesis

CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA TIERRA IFM-D-2014-0389 Funtor Mackey Representaciones Haces vectoriales